Paradoja de Richard

La paradoja que vamos a exponer ahora, sin entrar en su análisis detallado, ha tenido trascendencia en la Matemática actual. Puede exponerse en varias formas, que esencialmente equivalen a la siguiente:

Es indudable que el número de palabras del idioma español es limitado: no hay infinitas palabras. Por consiguiente, el número de frases de menos de cincuenta palabras que pueden formarse en español es también limitado. Por consiguiente, el número de números naturales que pueden definirse con frases de menos de cincuenta palabras, también es limitado (una de estas frases puede ser: "El menor número entero que sea, a la vez, par, cuadrado y cubo"). Hasta aquí todo parece correcto. Como el conjunto de los números naturales que se definen con menos de cincuenta palabras es limitado, al no tener infinitos números, habrá uno que será mayor que todos. Y ahora decimos:
"Sea A el número entero que sigue al mayor de los números enteros que se pueden definir con menos de cincuenta palabras."
Con esta frase se plantea una dificultad muy grave. Porque el número A se ha definido con las palabras entrecomilladas, menos de cincuenta, y por consiguiente debe pertenecer al conjunto de los números definidos por esta condición. Sin embargo, por su propia definición, debe superar a todos los números.

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